РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 624 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Тригонометрические уравнения

Найдите количество корней уравнения $11 синус 2x плюс 3 косинус 4x=6$ на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Решим уравнение:

$11 синус 2x плюс 3 косинус 4x=6 равносильно 11 синус 2x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка =6 равносильно$
$равносильно 6 синус в квадрате 2x минус 11 синус 2x плюс 3=0.$ $11 синус 2x плюс 3 косинус 4x=6 равносильно$
$равносильно 11 синус 2x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка =6 равносильно$
$равносильно 6 синус в квадрате 2x минус 11 синус 2x плюс 3=0.$

Сделаем замену: $t= синус 2x, t принадлежит левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$ Тогда:

$6t в квадрате минус 11t плюс 3=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Первый корень не удовлетворяет условию замены, следовательно,

$синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$ $синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$

Рассмотрим значения x при различных значениях n:

$n= минус 1: совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус Пи ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус Пи . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$ $n= минус 1: совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус Пи ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус Пи . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=0: совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$ $n=$
$=0: совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=1: совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$ $n=$
$=1: совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$

Таким образом, на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка$ 4 корня.

Ответ: 4.

Ответ: 4

624

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	624	4